Metody rozložení oblasti s předpodmíněním

Abstract

Práce se zabývá primárními metodami rozložení oblasti při řešení okrajových úloh s Dirichletovými okrajovými podmínkami a studiem předpodmínění gradientních metod. Problém řešení okrajových úloh se metodou konečných prvků převede na soustavu lineárních rovnic, které se řeší numerickými iteračními metodami s předpodmíněním. Snahou je nalézt co nejrychlejší metody řešení takových soustav, k čemuž napomáhají právě metody rozložení oblasti, které umožňují dobře paralelizovat výpočet. Práce ukazuje jak ze zadaných okrajových úloh v 1D a 2D sestavit soustavy lineárních rovnic a jak aplikovat metody rozložení oblasti. Dále analyzuje možnosti předpodmínění s cílem nalézt co nejrozumnější variantu z hlediska časové a paměťové náročnosti výpočtu a přesnosti řešení.

This work deals with primary methods of domain decomposition for solving boundary problems with the Dirichlet's boundary conditions and study of preconditioning gradient methods. The problem of solving boundary problems is converted into the system of linear equations by finite element method and this system is solved by numerical iterative methods with preconditioning. The aim is to find the fastest methods of solving such systems and right methods of domain decomposition, which allows good parallelization of computation, helps to that. This work demonstrates how to build systems of linear equations from given boundary problems in 1D and 2D and how to apply the domain decomposition method. It also analyzes the possibilities of preconditioning with aim to find the most sensible option in terms of time and memory consumption of computation and precision of the solution.