Základy variačního počtu a některé jeho aplikace

Abstract

V rámci diplomové práce nejprve připomeneme některé partie funkcionální analýzy, které budou použity v následujících kapitolách. Poté formulujeme základní úlohu variačního počtu a veškerou teorii, jež bude zapotřebí k nalezení stacionárních bodů vyšetřovaného funkcionálu. Následně představíme způsob, kterým je možno korektně dokázat existenci extrému. Zbylá část práce je věnována nejběžnějším problémům variačního počtu, konkrétně úloze o brachystochroně a úloze o minimální ploše. Obě úlohy jsou kompletně vyřešeny analyticky a poté jsou představeny dvě vhodné numerické metody doplněné získanými výsledky. Součástí jsou rovněž i fotografie a videa z pokusů, které byly prováděny pro praktickou ilustraci.

In this Master thesis at first some parts of functional analysis are mentioned which will be used in the following chapters. Afterwards, the fundamental problem of calculus of variations and whole theory which is necessary in order to find stationary points of explored functional. Thereafter, a way how to prove an existence of extrema will be shown correctly. The rest of the thesis deals with the most common problems of calculus variations which are, namely, the brachistochrone problem, and the minimal surface problem. Both of them are completely solved analytically. Consequently, there are introduced two suitable numerical methods supplemented by results. Photographs of several practical experiments commited for illustration and videos are integral parts of the thesis.