Axiomatické teorie množin

Abstract

Práce je zaměřena na axiomatické teorie množin. Jsou v ní přehledně zpracovány a popsány nejznámější teorie jako Zermelo-Fraenkelova teorie množin, Gödel-Bernaysova teorie množin a Kelley-Morseova teorie množin. V úvodu je popsána výstavba logické teorie s definicí základních pojmů a principů. Dále je zde zhrnut a objasněn důvod vzniku axiomatických teorií množin a důvod, proč naivní teorie množin nebyla dostačující. Další kapitoly jsou zaměřeny na důkazy jednotlivých teorémů u konkrétních teorií množin. Jedna z těchto kapitol je zaměřena na zdůvodnění, proč můžeme tvrdit, že Kelley-Morseova teorie množin je silnější než Zermelo-Fraenkelova teorie množin. Další kapitola popisuje, jakým způsobem omezit Gödel-Bernaysovu teorii množin na teorii s konečným počtem axiomů, i když se tato teorie standardně považuje za nekonečně axiomatizovatelnou. Poslední kapitola je věnována důležitým důkazům bezespornosti axiomu výběru a hypotézy kontinua se Zermelo-Fraenkelovou teorií množin.

Thesis focuses on axiomatic set theories. There are clearly described and processed the most famous theories - Zermelo-Fraenkel set theory, Gödel-Bernays set theory and Kelley-Morse set theory. In introduction is described the construction of logical theory with the definition of basic concepts and principles. There is also summarized and explained the cause of formation the axiomatic set theory and why naive set theory was not sufficient. Next chapters focus on proofs of individual theorems in specific theories. One of these chapters focuses on the rationale, why we can say that the Kelley-Morse set theory is stronger than Zermelo-Fraenkel set theory. Another chapter describes, how is possible to limit Gödel-Bernays set theory to theory with a finite number of axioms, although this theory is normally considered as infinitely axiomatized. The last chapter is dedicated to important proofs of unequivocalness of axiom of choice and the continuum hypothesis with Zermelo-Fraenkel set theory.