A Local Approach for Embedding Graphs into Cartesian Products

Abstract

The thesis is concerned with the graphs that have Cartesian product like structure, even if they are prime with respect to the product. In particular, we focus on heuristic methods that allow embedding of a given graph or at least its subgraph into a Cartesian product. For these purposes we use a local approach that covers a graph by small patches that reflect Cartesian product structure in the neighborhoods of single vertices.

The local approach provides a natural way to investigate approximate Cartesian products, because even if Cartesian product is disturbed, and thus prime w.r.t. the Cartesian product, we are able to recognize Cartesian structure in the parts of the graphs that were not disturbed. Hence, we design the algorithms that are able to recognize such parts of graphs and embed them into the Cartesian product. We thus improve the results of Hagauer and Žerovnik, who published an algorithm for the weak reconstruction of graphs. Our method promises to get answers also in other fields, such as Cartesian bundle recognition or recognition of Cartesian products of graphs with specified domain. Moreover, we show that our local approach can be very easily parallelized, which helps us to perform known algorithms in sublinear time.

Our research is motivated by practical applications in the fields of numerical methods, theoretical biology and engineering.

Dizertační práce se zabývá grafy, které sice mají strukturu podobnou Kartézskému součinu grafů, ale z pohledu Kartézského násobení mají pouze jeden faktor (takovýmto grafům říkáme aproximované součiny). Konkrétněji se v práci zabýváme heuristickými metodami, které dokáží takovéto grafy (nebo alespoň jejich podgrafy) vnořit do Kartézského součinu grafů. Tyto metody jsou založeny na tzv. lokálním přístupu, který pokrývá daný graf malými podgrafy, jež dovolují rozpoznat pravidelnou strukturu v okolí každého vrcholu grafu.

Lokální přístup poskytuje přirozený způsob, jakým lze rozpoznat aproximovaný součin. Hlavní výhodou je, že jsme schopni detekovat pouze části grafu, které mají pravidelnou strukturu a jsou vnořitelné do Kartézského součinu. Výsledkem lokálního přístupu jsou nové algoritmy pro rozpoznání Kartézského součinu a quasi-Kartézského součinu. Dále metoda vylepšuje časovou složitost algoritmu pro tzv. slabou rekonstrukci Kartézského součinu představenou v roce 1999 Hagauerem a Žerovnikem. V neposlední řadě navrhujeme několik heuristických metod pro vnoření grafu do Kartézského součinu. Jak ukážeme, lokální metoda se dá i paralelizovat, což za určitých předpokladů vede k algoritmům se sublineární časovou složitostí.

Náš výzkum je motivován realnými aplikacemi v oborech numerických metod, bioinformatiky a inženýringu. Samotné výsledky dávají naději pro řešení dalších problému jako např. rozpoznání Kartézských balíků nebo Kartézských součinů grafů se specifikovanou doménou.