Numerical solution of the Stokes-Brinkman equation by the usage uf the mixed finite element method

Abstract

This thesis works with the Stokes–Brinkman equation, which is the model for simulation of the fluid flow in a fully saturated porous medium. The Stokes–Brinkman equation is a unique equation combining the Darcy and Stokes equations. More precisely, the Darcy equation is used for simulation of fluid flow in porous region and the Stokes equation simulates the fluid flow in void spaces of a porous medium. Both domains (porous and void) have different values of permeability tensor K, which separates one from another in the Stokes–Brinkman equation. In this thesis, the Stokes-Brinkman equation is used for simulation of the fluid flow through various types of porous domains and boundary conditions. Every domain is discretized by mixed finite element methods by means of Q 2 − Q 1 elements, where the stability is verified. The usage of the weak formulation of the Stokes-Brinkman model together with the mixed finite element method leads to the saddle point system. This saddle point system is ill-conditioned by itself, and it further contains the jumps in coef- ficients from K. Such jumps increase ill-conditioning of the solved saddle point system. This thesis suggests to solve the saddle point system by the GMRES method with appropriate types of preconditioning. Most of the presented preconditioners require to solve a system with SPD matrix A from the saddle point system. Generally, this matrix A contains jumps in coefficients and it is hard to find a general preconditioner. Hence some types of SPD approximation of inverse of matrix A are presented and tested. The thesis offers a general comparison of preconditioning techniques with various types of approximation of inverse of matrix A for different examples. Here, also some technique of a posteriori error estimates, which measure the quality of the mesh on various elements, is presented. This technique discovers singularities which can be caused by sudden changes of the fluid flow or by the inner structure of a porous medium.

Práce se zabývá Stokesovou–Brinkmanovou rovnící, která je modelem pro simulaci proudění v plně saturovaném porézním prostředí. Stokesova–Brinkmanova rovnice je unikátní spojení Darcyho a Stokesovy rovnice. Přesněji, Darcyho rovnice je využívána pro simulaci proudění v porézním prostředí a Stokesova rovnice simuluje proudění ve volných oblastech porézního prostředí. Obě oblasti (porézní a volná) mají odlišný tenzor propustnosti K, který odlišuje obě oblasti ve Stokesově–Brinkmanově rovnici. V této práci je Stokesova–Brinkmanova rovnice využita pro simulaci proudění skrz různá porézní prostředí s různými okrajovými podmínkami. Každá oblast je diskretizována pomocí smíšené metody konečných prvků s použitím Q 2 − Q 1 elementů, na nichž je ověřena stabilita úlohy. Využití slabé formulace Stokesovy–Brinkmanovy rovnice spolu se smíšenou metodou konečných prvků vede na sedlobodový systém. Tento sedlobodový systém je přirozeně špatně podmíněný, ale navíc se v něm projevují skoky koeficientů z tensoru propustnosti K. Tyto skoky zvyšují špatnou podmíněnost řešeného sedlobodového systému. Tato práce navrhuje řešit tento sedlobodový systém pomocí GMRES metody s vhodným typem předpomínění. Většina typů předpomínění využitých v této práci pracuje s SPD maticí A z řešeného sedlobodového systému. Obecně tato matice A obsahuje skoky v koeficientech a je proto těžké najít vhodné obecné předpomínění. Proto v této práci byly využity a testovány metody aproximace předpodmínění inverze A. Tato práce nabízí obecné srovnání několika typů předpomínění včetně jejich kombinace s různými metodami aproximace inverze matice A pro několik různých příkladů. Tato práce se také zabývá a-posteriorním odhadem chyby, kde byla vyvinuta a použita technika, která umožní měřitkvalitu různých diskretizačních sítí. Navíc tato technika umí objevit singularity způsobené náhlou změnou proudění a tvarem porézního prostředí.