Ohodnocení grafů a rozpisy

Abstract

Jelikož lidé jsou odjakživa soutěživí, vždy se budou pořádat závody a turnaje. Turnaj si můžeme znázornit jednoduchým grafem, kde vrcholy jsou účastníci turnaje a hrany jsou zápasy mezi účastníky turnaje. Pro uspořádání turnaje budeme po grafu, který jej znázorňuje, požadovat určité vlastnosti. V této práci se budeme zabývat sestavením turaje za pomoci vrcholového ohodnocení, které budeme modelovat s požadavkem na celkový součet sil, převážně pro tzv. neúplné turnaje, kdy nehraje každý tým s každým týmem.

Pro sestavení ohodnocení přiřadíme každému týmu nějakou sílu (například podle umístění v~předchozím turnaji) a následně budeme počítat celkovou váhu soupeře pro každého účastníka turnaje, tedy součet labelů sousedů pro každý z vrcholů.

V práci je zavedeno nové aritmetické ohodnocení grafu, které je zobecněním distančně magického ohodnocení, fair ohodnocení a handicapového ohodnocení. Ukážeme, že se jedná o zobrazení ekvivalentní handicapovému ohodnocení pro pravidelné grafy. Existence tohoto nového aritmetického ohodnocení je vyřešena pro pravidelné grafy, jejichž stupeň vrcholu je d=1 nebo d=2. V~práci jsou také nutné podmínky existence pro aritmetické ohodnocení pravidelných grafů.

We will always have tournaments, because people want to know, who is better in games or sports. We aproximate a tournament with a simple graph, where teams will be vertices and a match between two teams in the tournament will be represented by an edge. Every graph, which aproximates a tournament, has to meet certain properties. In this thesis we describe tournaments with a vertex graph labeling, which aproximate total strength of the opponents of each team predominantly in equalized incomplete tournaments.

We assign strength to every team (i.e.~by their placement in the previsious tournament) and count the weight of all opponents for each team as the sum of labels of vertices adjacent to the corresponding vertex.

In this thesis we create a new arithmetric labeling of graphs, which is a generalization of distance magic labeling, fair labeling and handicap labeling. We show that this labeling is equivalent to handicap labeling for regular graphs. Existence of this new labeling is settled for $r$-regular graphs, where r=1 or r=2. Further this thesis provides necessary conditions for the existence of arithmetic graph labeling.