Bifurcation diagrams of discrete dynamical systems

Abstract

The goal of this thesis is the study and analysis of bifurcation diagrams of discrete dynamical systems. Bifurcation theory focuses on the changes in properties of dynamical systems under varying system parameters, and it is possible to use the techniques from this field of study in various engineering areas. Focus will be placed on bifurcation diagrams of generic one and two dimensional spaces, namely the interval, the circle and the plane. Needed theory will be provided and supported with relevant examples and theorems. Investigated systems (Logistic map, Tent map, Hénon map, Avishai-Berend map) are introduced and explained. Simulation results performed in Java are presented, along with relevant algorithm scripts published on GitHub. Several bifurcation types are also mentioned -- transcritical, saddle node, pitchfork.

Cílem této práce je studium bifurkačních diagramů diskrétních dynamických systémů. Teorie bifurkací se zaměřuje na změny ve vlastnostech dynamických systémů při změně v parametrech systému, přičemž technik z tohoto oboru lze využít v různých vědeckých oblastech. Práce se zaměří na bifurkační diagramy jedno a dvou rozměrných prostorů, přesněji na interval, kružnici a rovinu. Potřebná teorie bude uvedena a podpořena náležitými příklady a větami. Zkoumané systémy (logistické zobrazení, stanové zobrazení, Hénonovo zobrazení, Avishai-Berendovo zobrazení) jsou představeny a vysvětleny. Výsledky simulací provedených v Javě jsou uvedeny, spolu s úryvky zrojových kódů publikovaných na GitHubu. Bude také zmíněno několik typů bifurkací -- transkritická, sedlová a vidličková.