Utilization of Discrete Mathematics in Parallel Boundary Element Method

Abstract

This thesis describes techniques used to implement the boundary element method for the Helmholtz transmission problem in distributed compute environment. These techniques are based on principles from graph theory and are applicable to matrix assembly and matrix-vector product when the matrices are represented in a block form.

Firstly, we formulate the Helmholtz transmission problem in three dimensions and recall the appropriate fundamental theory used by the relaxed local multi-trace formulation, which is our method of choice to solve the problem. The relaxed local multi-trace formulation is then devised for general problem settings, that is we consider a finite number of domains, each with its own wave number, together with transmission conditions to enforce continuity of the solution across boundaries of the domains.

Afterwards, we introduce the reader to fast boundary element method which is used to approximate the corresponding full matrices. To this end, we resort to using the algebraic version of the adaptive cross approximation technique and discuss its advantages and also its insufficiencies. We propose an improved adaptive cross approximation algorithm which aims to solve the discussed issues and we demonstrate its superiority on a variety of interior Hemlholtz problems.

Furthermore, we introduce a method of workload assignment for distributed parallel matrix assembly and matrix-vector product and argue its optimality with respect to the number of degrees of freedom required by each processing unit.

Finally, we provide the results of numerical experiments which analyze the effects a block representation has on parallel efficiency of matrix assembly and matrix-vector product. In relation to the relaxed local multi-trace formulation, we argue that additional division of processing power might be required and formulate the appropriate algorithms. In the end, we offer the results of parallel experiments on a selection of Helmholtz transmission problems both with and without junction (cross) points and measure how the number of GMRES iterations is affected by the relaxation parameter of the relaxed local multi-trace formulation.

Tato práce popisuje techniky využité při implementaci metody hraničních prvků pro Helmholtzův problém transmise v paralelním výpočetním prostředí. Tyto techniky jsou založeny na principech z teorie grafů, jsou uplatnitelné pro sestavování systémových matic a při násobení matice a vektoru, přičemž předpokládáme, že jsou matice reprezentovány v blokové formě.

Nejprve formulujeme Helmholtzův problém transmise ve třech dimenzích a připomeneme si související nutnou teorii použitou v tzv. relaxované lokální multi-trace formulaci, což je metoda, kterou vuyžíváme pro vyřešení daného problému. Poté odvodíme podobu samotné relaxované multi-trace formulace pro problémy s konečným počtem uzavřených domén, každá s vlastním vlnovým číslem, společně s podmínkami přechodu zajišťujícími spojitost řešení přes všechny doménových hranic.

Poté uvedeme tzv. rychlou metodu hraničních prvků, kterážto je využita pro aproximaci hustých matic v metodě hraničních prvků. K tomuto účelu využíváme algebraickou verzi adaptivní křížové aproximace a zamýšlíme se nad jejími výhodami a nevýhodami. Navhrujeme nový algoritmus, který diskutované nevýhody řeší za cenu mírně zvýšené výpočetní náročnosti sestavení odpovídajících matic.

Rovněž uvádíme metodu pro blokové přiřazení práce pro paralelní sestavení matic v distribuovaném výpočetním prostředí and diskutujeme optimalitu této metody vzhledem k počtů stupňů volnosti, se kterými musí pracovat každá výpočetní jednotka.

Nakonec uvádíme výsledky numerických měření, jež analyzují vliv blokové reprezentace matic na paralelní efektivitu sestavování matic a výpočtu násobení matice krát vektor. Co se relaxované lokální multi-trace formulace týče, tak navíc uvádíme dodatečný algoritmus pro rozdělení výpočetního výkonu. Ve finále prezentujeme výsledky paralelních experimentů na výběru několika Helmholtzových problémů transmise jak bez tzv. křížových bodů, ale i s nimi.