Metody konstrukcí magických ohodnocení grafů

Abstract

V této diplomové práci se zaměřujeme na distančně magické ohodnocení, handicapové ohodnocení, k-handicapové ohodnocení, distančně antimagické ohodnocení a supermagické ohodnocení grafu. Je zde zpracován přehled známých výsledků a nutné podmínky existence pro každé ze zmíněných ohodnocení. Na základě známých výsledků bylo cílem navrhnout analogické postupy i pro další typy ohodnocení. Navíc jsme se pokusili postupy aplikovat. V práci zkoušíme kombinovat grafy s různými ohodnoceními tak, aby měl výsledný graf jedno z daných ohodnocení. Hledáme podobné a odlišné vlastnosti ohodnocení, které mohou být faktorem existence ohodnocení výsledného grafu. Pro supermagické ohodnocení jsme uvedli tzv. spektrum magické konstanty, kde pro jeden pravidelný graf můžeme zvětšením všech labelů grafu o stejnou hodnotu získat nekonečně mnoho nových supermagických ohodnocení. U k-handicapového ohodnocení jsme ukázali tvrzení, díky kterého můžeme pomocí k-dimenzionální magické krychle odvodit (-k)-handicapové ohodnocení grafu. Dalším výsledkem dosaženým v této práci je konstrukce supermagického ohodnocení pro graf, který byl vytvořen sjednocením dvou supermagických grafů, pomocí posunutí původních ohodnocení sjednocovaných grafů. Na konci práce je uvedeno shrnutí, kde zkoumáme všechny použité konstrukce a pro jaký druh ohodnocení a typ grafu lze tato konstrukce použít.

In this master thesis we focus on distance magic labeling, handicap labeling, k-handicap labeling, distance antimagic labeling and supermagic labeling. The known results and necessary conditions for existence of these labelings are compiled. Based on the known results, the goal was to come up with similar approaches for other labelings as well. We try to combine graphs with different labelings so that the resulting graph has one of the given labelings. We are looking for similar and different properties of the labelings, that could be a reason for existence of the labelings of the resulting graph. For supermagic labeling, we introduced the so-called spectrum of the magic constant, where we can increase all labels by the same value to get an infinite number of new supermagic labelings for one regular graph. We also came up with a proposition that allows us to use a k-dimensional magic cube as a (-k)-handicap labeling of a graph. Another outcome of this thesis is the construction of supermagic labeling of a graph, that was created by union of two supermagic graphs, by shifting the original labeling of the unified graphs. A summary is given at the end of the thesis, where we examine all the constructions used and for what kind of labeling and type of graphs these constructions can be used.