Methods for the solution of differential equations with uncertainties in parameters

Abstract

The main topic of this thesis is the solution of partial differential equations (PDEs) with uncertainties in input data using the stochastic Galerkin method (SGM).

A significant part of the thesis is devoted to the theoretical background. This includes probability theory, with a focus on random fields and their regularity, variational formulations of PDEs with uncertainties, with a focus on differences to the deterministic counterpart, SGM discretization spaces, the efficient assembly of stochastic matrices, and the use of the resulting solution for sampling.

The rest of the thesis is devoted to efficient computations and numerical testing and covers two main topics. The first topic is the efficient computation of Karhunen-Loève (KL) decomposition of isotropic Gaussian random fields This includes the optimization approach to the separable approximation of covariance function, Galerkin approximation using polynomial basis and specific integration scheme for efficient construction of Galerkin matrices. The second topic is the reduced basis (RB) solver for SGM systems, including two methods for constructing the RB: the reduced rational Krylov subspace method (RRKS) and the Monte Carlo (MC) greedy method. Additionally, the efficient implementation of the RB solver includes a scheme for adaptive precision for the solution of the reduced system and the deflated conjugate gradient (DCG) method to speed up the construction of the RB.

The main contributions of the thesis can be divided into two parts. The first one is the compilation of the theoretical background with some minor additions. The second one is the improvements and modifications of methods for efficient computation. Shortly, the second one includes efficient computation of KL decomposition, improvements of RRKS construction of RB, a scheme for adaptive precision for the solution of reduced systems, and the use of DCG for speeding up the RB construction. Lastly, my own implementation in MATLAB and comprehensive numerical experiments inspired by geosciences.

Hlavním tématem této práce je řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDE) s nejistotami ve vstupních datech pomocí stochastické Galerkinovy metody (SGM).

Významná část práce je věnována teoretickému základu. Patří sem teorie pravděpodobnosti se zaměřením na náhodná pole a regularitu jejich realizací, variační formulace PDE s nejistotami se zaměřením na rozdíly vůči deterministickému problému, SGM diskretizační prostory spolu s efektivním sestavováním stochastických matic a využití výsledného řešení pro vzorkování.

Zbytek práce je věnován efektivním výpočtům a numerickému testování a pokrývá dvě hlavní témata. Prvním je efektivní výpočet Karhunen-Loève (KL) rozkladu izotropních Gaussovských náhodných polí. Toto zahrnuje optimalizační přístup k separovatelné aproximaci kovarianční funkce, Galerkinovu aproximaci pomocí polynomiální báze a specifické integrační schéma pro efektivní konstrukci Galerkinových matic. Druhým je metoda redukované báze (RB) pro řešení systémů SGM. Toto zahrnuje dvě metody pro konstrukci RB: redukovaný racionální Krylovův podprostor (RRKS) a Monte Carlo (MC) “hladovou” metodu. Efektivní implementace RB řešiče navíc zahrnuje schéma pro adaptivní přesnost pro řešení redukovaných systémů a deflatovanou metodu sdružených gradientů (DCG) pro urychlení konstrukce RB.

Hlavní přínosy práce lze rozdělit do dvou částí. První částí je rešerše teoretického základu s několika vlastními drobnými doplňky. Druhou částí jsou vylepšení a úpravy metod pro efektivní výpočty, například efektivní výpočet KL rozkladu, vylepšení konstrukce RRKS RB, schéma adaptivní přesnosti pro řešení redukovaných systémů, použití DCG pro urychlení konstrukce RB. V neposlední řadě práce obsahuje vlastní implementace v MATLABu a komplexní numerické experimenty inspirované geovědními aplikacemi.