Extremální grafy předepsaného stupně a obvodu

Abstract

V disertační práci jsme se zaměřili na problém klecí. V rámci problému klecí se snažíme pomocí nejrůznějších metod najít nejmenší možný k-regulární graf s obvodem g, tzv. (k,g)-graf.

V Kapitole 3 uvedeme výsledky známe z předchozího výzkumu problému klecí. Na tento výzkum navážeme v Kapitole 4. Zde nejprve zkoumáme v Podkapitole 4.1 spektra řádů \((k,g)\)-grafů, v návaznosti na články [30, 42], kde dokážeme, že lze nalézt celé spektrum přípustných řádů pro (2,g)-, (k,3)-, (3,5)- a (3,6)-grafy. Dále ukážeme částečné spektrum řádů pro (k,4)-grafy. V Podkapitole 4.2 pomocí obecného seříznutí, v návaznosti na článek [43] a výsledky spektra řádů z Podkapitoly 4.1, hledáme nové (k,g)-grafy, které by byly menší než nejmenší známé grafy. Rovněž ukážeme jak pomocí obecného seříznutí hledat nové (k,g)-grafy, které by šlo následně zmenšit. Podkapitoly 4.3 a 4.4 ukazují, v návaznosti na zaslaný článek [22], jak lze v (k,g)-grafech najít vrcholy, které by bylo možné odebrat, respektive alespoň přepojit vrcholy tak, aby se přitom nezměnila regularita a obvod grafu. Sice se nám takto nepovedlo objevit žádné nové menší (k,g)-grafy, jsme však přesvědčení, že tímto způsobem může být v budoucnu dosaženo nových menších (k,g)-grafů. V neposlední řadě v Kapitole 5 zkoumáme (k,g)-grafy, které vzniknou z geometrických designů. Vlastnosti těchto (k,g)-grafů se povedlo určit kompletně. Kapitola 5 vychází z článku [41].

V Kapitole 6, v návaznosti na článek [15], zkoumáme vlastnosti obvodově hranově regulárních grafů. Určíme několik obecných vlastností pro obvodově hranově regulární grafy a vylepšíme několik dolních hranic s ohledem na možnost existence obvodově hranově regulárního grafu pro dané parametry k,g,lambda. Dále ukážeme nejmenší hodnoty řádů pro obvodově hranově regulární n(4,3,1) a n(4,4,lambda), lambda in {1,2,3,5,6,9}.

V Kapitole 7 nastíníme další možnosti výzkumu v oblasti (k,g)-grafů a vyslovíme hypotézy, které mohou výzkum (k,g)-grafů posunout dál a tím obohatit matematiku.

In this Ph.D. thesis we investigate the Cage problem. The goal of the Cage problem is to find a smallest graph with regularity k and girth g, so called (k,g)-graphs. We use variety of different methods for finding the (k,g)-graphs.

In Chapter 3 we present results known from the previous research. We follow up on this research in Chapter 4. We first investigate spectra of orders for (k,g)-graphs in Section 4.1. We show full spectra of feasible orders for (2,g)-, (k,3)-, (3,5)- and (3,6)-graphs and partial spectra of orders for (k,4)-graphs. Section 4.1 is based on articles [30, 42]. We then use results from Section 4.1 in Section 4.2 where we try to find new smaller (k,g)-graphs than currently best known graphs using generalized truncation. Also, we use generalized truncation to seek new (k,g)-graphs which then might be possible to shrink down. Section 4.2 is based on article [43]. Sections 4.3 and 4.4 demonstrate how to remove vertices from (k,g)-graphs or how to reconnect vertices in (k,g)-graph while preserving regularity and girth. Though this approach has not brought us any new smaller (k,g)-graphs, we still believe that this approach will bring new results in future and deliver smaller (k,g)-graphs. Sections 4.3 and 4.4 are based on submitted article [22]. In Chapter 5 we explore the properties of \((k,g)\)-graphs which are based on geometric designs. We have been able to determine all the major properties of these (k,g)-graphs. Chapter 5 is based on article [41].

In Chapter 6 we investigate properties of edge-girth-regular graphs. We determine some general properties of these graphs and also improve some lower bounds with the aim of finding conditions that determine whether given edge-girth-regular graph can or cannot exist based on given parameters k,g,lambda. We also determine the smallest possible values of orders for edge-girth-regular graphs with parameters n(4,3,1) and n(4,4,lambda), lambda in {1,2,3,5,6,9}. Chapter 6 is based on article [15].

In Chapter 7 we outline possibilities for future research in the area of (k,g)-graphs. These possibilities are based on some of our ideas and we present a couple of conjectures that may move the research forward in the area of (k,g)-graphs.