Parallel space-time discretisation methods

Abstract

The main aim of this doctoral thesis is to employ parallel methods to solve parabolic partial differential equations, specifically those leading to transient heat (diffusion) equations. One method for solving these problems is through the use of the semi-discrete finite element method. This scheme involves first discretising the spatial domain using the finite element method, which results in a system of ordinary differential equations. Next, this system is discretised over time using a time-stepping scheme, such as the Euler or Crank-Nicolson method. The resulting semi-discrete problem can then be solved in parallel using the Parareal method, which offers a relatively straightforward approach. The author of this thesis proposes a novel combination of the Parareal algorithm and a domain decomposition method based on the Schur complement approximation to increase the parallelism. This domain decomposition allows for the concurrent solutions of the spatial subproblems within each time slice.

Another method for solving parabolic partial differential equations is to use the finite element method directly on the space-time domain. This approach does not require any underlying tensor structure as in the previous case and allows for the use of general unstructured finite elements. However, in the final part of the doctoral thesis, the so-called Fast Diagonalisation Method is discussed, which uses the tensor-product technique to divide the space-time domain into a system of linear equations along the time interval and the system associated with the spatial domain. This method provides a parallel scheme along the time interval using the eigenvalues of the linear system in time. As the eigenvalues are complex, the author proposes a novel combination of the Fast Diagonalisation Method with the Preconditioning for REal matrices with Square Blocks (PRESB) method. The PRESB method utilises the complex structure of the obtained spatial systems to construct an efficient preconditioner.

The main contributions of this doctoral thesis are as follows: 1. A more in-depth examination of the Main Theorem of the well-posedness of a weak formulation for a parabolic problem, which Eberhard H. E. Zeidler has established in his work.

2. An overview of the Parareal method, including a discussion of potential implementation options and the proposal of a novel combination of the Parareal with the DDM based on the Schur complement approximation.

3. A summary of the space-time finite element method and the proposal of a novel combination of the Fast Diagonalisation Method and the PRESB algorithm (along with FGMRES method and multigrid), which demonstrates a potential of a full parallelisation of the space-time problem.

Hlavní náplní disertační práce je aplikace paralelních metod pro řešení parabolických parciálních diferenciálních rovnic. Konkrétně, pro řešení úloh vedoucí na rovnici vedení tepla (difúze). Jednou z možností, jak řešit dané úlohy, je použití konečně prvkové semi-diskretizační metody, kdy se nejprve diskretizuje prostorová oblast za pomocí metody konečných prvků. Získáme tak soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, která může být následně diskretizována za použití krokové metody, jako je například Eulerova nebo Crank-Nicolsonova. Na vzniklé časoprostorové semi-diskretizační schéma lze aplikovat paralelní metodu známou pod názvem Parareal, která poskytuje poměrně jednoduché schéma pro paralelizaci v čase. Pro zvýšení efektivity paralelního řešení, je v rámci disertační práce navržena kombinace Parareal metody s doménovou dekompozicí založenou na pricipu aproximace Schurova doplňku. Doménová dekompozice navyšuje míru paralelismu v čase o paralelismus v prostoru, kdy v každém časovém řezu je prostorová oblast rozdělena na dílčí samostatné podoblasti.

Další možností, jak řešit parabolické úlohy, je přímé použití konečně prvkové metody na celou časoprostorovou oblast. Tímto přístupem nám odpadá nutnost použití tenzorové struktury, která se skrývá v pozadí předchozího přístupu, a můžeme tak použít obecnější nestrukturované konečné prvky. Nicméně, poslední část disertační práce pojednává o tzv. Rychlé Diagonalizační Metodě, která využívá principu tenzorového součinu, aby byla oddělena soustava lineárních rovnic v čase od soustavy rovnic příslušící prostorové oblasti. Tím je umožněno řešit nezávislé úlohy v dílčích časových krocích na základě vlastních čísel matic příslušící diskretizaci úlohy v časovém intervalu. Jelikož výsledné vlastní čísla jsou komplexní, je v rámci této části navržena kombinace Rychlé Diagonalizační Metody s metodou PRESB -- Preconditioning for REal matrices with Square Blocks. PRESB využívá komplexní struktury vzniklých prostorových úloh pro sestavení efektivního předpomíňovače.

Hlavní přínosy disertační práce jsou následující: 1. Detailnější zpracování teorie existence a jednoznačnosti slabé formulace parabolické úlohy od autora Eberharda H. E. Zeidlera.

2. Shrnutí metody Parareal, možností její praktické implementace a provedení kombinace Parareal s doménovou dekompozicí založenou na aproximaci Schurova doplňku.

3. Shrnutí teorie časoprostorových konečných prvků a použití metody PRESB (spolu s FGMRES metodou a multigridem), která demonstruje potenciál úplné paralelizace časosoprostorové úlohy v kombinaci s Rychlou diagonalizační metodou.