Rozhodnutelné podtřídy formulí predikátového počtu 1. řádu

Abstract

Pro predikátovou logiku prvního řádu existují úplné a samozřejmě bezesporné důkazové kalkuly. Dle věty o úplnosti Kurta Gödela lze vyvinout kalkul (např. Hilbertův), ve kterém je každá logicky pravdivá formule dokazatelná a navíc (dle silnější verze věty o úplnosti), pokud daná formule logicky vyplývá ze zvolených axiomů, pak je z nich dokazatelná. Avšak neexistují kalkuly, ve kterých by bylo možno rozhodnout, zda je daná formule logicky pravdivá či zda je důsledkem zvolených axiomů, což je jedním z důsledků první Gödelovy věty o neúplnosti. Proto říkáme ve zkratce, že predikátová logika 1. řádu není rozhodnutelná. Nicméně existuje celá řada podtříd formulí predikátového počtu prvního řádu, které mají tuto žádoucí vlastnost, jsou rozhodnutelné. Cílem této diplomové práce je vypracovat přehlednou studii o těchto podtřídách formulí predikátové logiky 1. řádu a následně tyto výsledky zpracovat do podoby webové stránky tak, aby bylo možné výsledky využít pro výuku předmětu vybrané partie z matematické logiky. Navíc lze pak tyto výsledky uplatnit v teorii a praxi automatizovaného dokazování teorémů.

Complete and, of course, indisputable proof calculi exist for the first-order predicate logic. By Kurt Gödel’s completeness theorem, a calculus (such as the Hilbert Calculus) with the following property can be developed: Each logical true formula is provable and (by the stronger version of the completeness theorem) if a given formula logically follows from given axioms, then it is provable from these axioms. There are not, however, any calculi where it would be possible to decide whether or not a given formula is logically true or whether it is the consequence of a given set of axioms. This is one of the implications of Gödelov’s first incompleteness theorem. Therefore, we say in short that the first-order predicate logic is undecidable. There are however a large number of predicate calculus formulae subclasses that have the desirable property of being decidable. The goal of this diploma thesis has been to compile a synoptic study of such first-order predicate logic formulae subclasses and put it into the form of a webpage so that the results are accessible for teaching the subjects of select parts of mathematical logic. These results can also find further application in the theory and practice of automated proving of theorems.