Primární metody rozložení oblasti a hraniční prvky

Abstract

Práce se zabývá primárními metodami rozložení oblasti pro řešení 2-dimenzionální Poissonovy úlohy s homogenními Dirichletovými okrajovými podmínkami a se skoky v~koeficientech. Výpočetní oblast se rozloží na podoblasti, kterým pak odpovídají jednotlivé skoky v koeficientech. Úloha se diskretizuje metodou konečných prvků a převede se tak na soustavu lineárních rovnic, kterou řešíme nepřesnou tříkrokovou metodou s~využitím předpodmínění. Konstruujeme paralelní předpodmiňovač, který se skládá ze tří nezávislých částí. Lokální Dirichletovy úlohy na jednotlivých podoblastech, lokální úlohy pro všechny hrany mezi jednotlivými podoblastmi a nakonec globální Dirichletovy úlohy. Globální úlohu můžeme pro jednoduché tvary podoblastí řešit metodou konečných prvků nad hrubou diskretizační sítí danou dekompozicí, anebo ekvivalentně metodou hraničních prvků s využitím Steklov-Poincarého operátoru, což nám posléze umožňuje řešit úlohu i pro složitější tvary podoblastí. Tato nová varianta řešení je v práci představena a otestována.

This work deals with primal domain decomposition methods for a 2-dimensional Poisson equation with homogenous Dirichlet's boundary conditions and jumping coefficients. The computational domain is decomposed into subdomains, that align the coefficients jumps. The problem is discretized by finite element method and converted into system of linear equations, which are solved by inexact three-step method acting as a preconditioner. Parallel preconditioner, comprised of three parts, is introduced. These parts are local problems on subdomains, local problems for all edges between the subdomains and a global coarse problem. The global coarse problem may be diskretized by finite element method and also by boundary element method using Steklov-Poincare operator. The boudary element approach gives us the possibility to solve this problem for more complicated shapes of subdomains. This approach is being introduced and tested in this thesis.