Optimization Methods: Inverse Problems, Algorithms and Applications

Abstract

This thesis deals with inverse problems and it is focused on practical applications arising in geomechanics. By inverse problems we understand an identification of a finite set of material parameters. The thesis provides proofs of existence of at least one solution to the continuous setting of inverse problems, which are governed either by scalar elliptic or linear elasticity state problems. For both state problems we assume a priori known material distributions. We prove the convergence of parameters, which are identified in state problems discretized by FEM, to the parameters which solve the continuous state problems. Algebraic sensitivity analysis of the first and the second order for a large class of nonlinear least squares cost functionals is provided. Gradient based optimization methods with various line search techniques are used for the numerical solution of the introduced problems.

Proposed numerical methods are first tested on model state problems and subsequently applied to a parameter identification of a model problem of groundwater flow in a confined aquifer in a few settings where the effects of an over and under determination of inverse problems are studied. A two level approach is used for a more complicated parameter distribution.

Results of the three following geomechanical engineering applications are shown: a large scale identification problem which was a part of an evaluation of the in situ experiment concerning the rock damage in repositories of spent nuclear fuel; a parameter fitting for hydro-mechanical model of unsaturated fluid flow in a borehole sealing structure; and an identification of material properties for a constituent of a geological composite using laboratory data from the uniaxial load test applied to the composite.

Tato práce se zabývá inverzními problémy a je zaměřena na praktické aplikace v oblasti geomechaniky. Inverzními problémy zde rozumíme identifikaci konečné množiny materiálových parametrů. Práce obsahuje důkaz existence alespoň jednoho řešení spojitého inverzního problému, přičemž příslušná stavová úloha je buď skalární nebo elastická. Pro obě třídy stavových problémů předpokládáme a priori známá materiálová rozhraní. Je dokázána konvergence parametrů určených identifikací při použití stavových úloh diskretizovaných MKP k parametrům, které řeší úlohu identifikace pro spojitou stavovou úlohu. Dále je provedena algebraická citlivostní analýza prvního a druhého řádu pro širokou třídu nelinearních cenových funkcionálů typu nejmenších čtverců. Pro numerické výpočty využíváme gradientní metody s různými přístupy pro volbu délky kroku.

Navržená numerická realizace je nejdříve odzkoušena na modelových stavových úlohách a potom je také použita pro modelové úlohy proudění spodní vody v několika různých konfiguracích, kde studujeme přeurčení a podurčení inverzního problému. Pro složitější distribuci parametrů je použito dvouúrovňové metody.

V práci také řešíme tři geomechanické úlohy z inženýrské praxe: rozsáhlý identifikační problém, který byl součástí vyhodnocení in situ experimentu, který ukazuje možné porušení hornin v úložištích vyhořelého jaderného paliva; kalibraci parametru hydromechanického modelu nesaturovaného proudění tekutiny, které má využití při analýze bentonitového těsnění vrtu; identifikaci jednoho z materiálových koeficientů geokompozitu s využitím laboratorních dat z uniaxiálního zátěžového testu vzorku.