Metoda kompozitních konečných prvků ve 2 dimenzích

Abstract

Většinu praktických úloh, které vedou k matematickému modelování pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDR), nelze řešit analyticky, ale musí se využít numerických metod. Jedním z klíčových problémů při numerickém řešení PDR je aproximace okrajových podmínek. Diskretizační síť musí věrně kopírovat hranici oblasti, což pro praktické úlohy znamená rozsáhlé soustavy lineárních rovnic. Alternativní postup, tzv. kompozitní konečné prvky, byl navržen v [1], kdy se diskretizují oblasti s velmi jemnými geometrickými detaily pomocí hierarchického zjemňování nekonformní sítě [2]. Navržené konečně-prvkové bázové funkce pak mají velké nosiče, tedy výsledné soustavy mají hustěji zaplněné matice, které se však umí efektivně řešit. Tato práce se zabývá konstrukcí a řešením úloh touto metodou.

Most practical problems that lead to mathematical modelling using partial differential equations (PDE) cannot be solved analytically, instead numerical methods should be applied. One of the main problems for numerical solution of PDE is an approximation of boundary conditions. Discretisation grid must properly represent border of the domain, which leads to large systems of linear equations for practical problems. An alternative method, so called composite finite elements, was proposed in [1]. This method leads to construction of hierarchy of non-conforming grids, which cover the domain with small geometric details [2]. Composite finite element basis functions have bigger supports and the resulting system matrices are more dense, but these systems can be solved efficiently. The aim of this thesis is to construct and solve problems using this method.