Věty o pevných bodech

Abstract

V této práci si nejprve řekneme, co je to pevný bod, a následně se podíváme na pevné body zobrazení f:ℝ → ℝ. Poté si nadefinujeme metrické prostory a pojmy potřebné k formulaci a důkazu Banachovy věty o pevném bodě. Následně si ukážeme některé aplikace Banachovy věty (numerický výpočet odmocniny, řešení soustav rovnic, věta o implicitní funkci, věta o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy), kde nám samotná Banachova věta o pevném bodě nabídne i metodu k nalezení řešení, což si ukážeme na příkladech.

In this bachelor thesis we first take a look at fixed points and then fixed points of function f:ℝ → ℝ. After that we define metric space and concepts needed to formulation and proof of Banach fixed-point theorem. Then we show some applications of Banach fixed-point theorem (numerical calculation of the square root, solving systems of equations, implicit function theorem, theorem on the existence and uniqueness of solutions of the Cauchy problem), where Banach fixed-point theorem will give us method to find solution which we will show in the examples.