Homogenizace eliptických rovnic

Abstract

Tato práce se zabývá matematickou homogenizací eliptických úloh pro heterogenní objekty s jemnou periodickou strukturou. Studovány jsou obyčejné i parciální diferenciální rovnice. Pro oba případy jsou formulovány základní homogenizační teorémy, které jsou následně dokázány. Pro důkaz v N dimenzích je představen koncept dvojškálové konvergence odrážející chování tzv. rapidně oscilujících funkcí, které se v homogenizačních úlohách vyskytují. Součástí práce je i stručný popis praktické implementace řešení homogenizačních úloh ve 2D pomocí metody konečných prvků a nepřímé kolokační metody hraničních prvků. Dokázaná tvrzení jsou numericky ověřena na několika příkladech.

In this thesis we study mathematical homogenization of elliptic equations for heterogeneous materials with fine periodic structure. Both ordinary and partial differential equations were studied and for both cases we state and prove homogenization theorems. Two-scale convergence method that reflects behaviour of rapidly oscillating functions is introduced for proof of homogenization theorem in N dimensions. We also present an overview of practical implementation for solving homogenization problems in 2D by finite element method and collocation boundary element method. Theoretical results are confirmed by several numerical experiments.