Semilineární okrajové úlohy v 1D

Abstract

Laneova-Embdenova okrajová úloha má původ v astrofyzice, a to jako model popisující hustotu hvězd či planet. I když pro vybrané hodnoty polytropického indexu existuje analytické řešení této úlohy, ve většině případů je potřeba řešení hledat numericky. V této práci se budeme zabývat popisem řešení Laneovy-Emdenovy okrajové úlohy v 1D, a to pro polytropický index 3. Tato úloha nemá analytické řešení, a proto poté, co popíšeme, jak vypadají všechna její řešení, budeme tato řešení hledat numericky. Nakonec vyzkoušíme aplikovat podobný postup numerického nalezení řešení na zobecněnou Laneovu-Emdenovu okrajovou úlohu v 1D.

The Lane-Embden boundary value problem originated in astrophysics, as a model to describe the density of stars or planets. Although for selected values of the polytropic index exists an analytical solution to this problem, in most cases, the solution must be found numerically. In this thesis we will deal with the description of the solution of the Lane-Embden boundary value problem in 1D, for a polytropic index 3. This problem has no analytical solution, so after describing what all of its solutions look like, we will find them numerically. Finally, we will try to apply a similar approach to finding solution numerical to generalized Lane-Embden boundary value problem in 1D.