Modifikace magických ohodnocení

Abstract

Soutěživost je jednou z lidských vlastností, která nás provází po celý život. Přirozeným základem soutěživosti by měla být férovost. Tato diplomová práce se věnuje distančně magickému ohodnocení grafů, které se používá pro sestavení neúplných sportovních turnajů. Abychom mohli nějakým způsobem ohodnotit grafy, které naráží na algebraické omezení distančně magického ohodnocení, musíme definici zobecnit. Cílem práce je prozkoumat zobecnění magického ohodnocení, díky kterým můžeme magicky ohodnotit již zmiňované grafy s algebraickými omezeními. Toto zobecnění v diplomové práci definujeme jako rozšířené distančně magické ohodnocení, které nadále používáme při sestavování spravedlivých neúplných turnajů. Hledáme nutné a postačující podmínky daných ohodnocení, distančně magické ohodnocení sestrojíme pomocí Kotzigových matic, zdvižených Kotzigových matic a pro rozšířené distančně magické ohodnocení nově zavádíme úpravené Kotzigovy matice. Abychom zaručili, že jeden tým nehraje dva zápasy najednou, musíme sestrojit platný rozpis zápasů pomocí 1-faktorizace. Z diplomové práce vychází, že ze zvoleného zobecnení lze nalézt rozšířené distančně magické ohodnocení pro grafy, pro které distančně magické ohodnocení neexistuje. V závěru poznatky implementujeme a získáváme nástroj pro generování grafů s rozšířeným distančně magickým ohodnocením.

Competitiveness is one of the human traits that stays with us throughout our lives. Fairness should be the natural foundation of competitiveness. This thesis focuses on distance magic graph labelings, which are used to construct incomplete sports tournaments. In order to evaluate graphs that encounter algebraic constraints of distance magic labelings, we must generalize the definition. The aim of this thesis is to explore generalizations of the magic labeling that allow us to assign magic weights to the aforementioned graphs with algebraic constraints. In this thesis, we define this generalization as an extended distance magic labeling, which we subsequently use to construct fair incomplete tournaments. We define necessary and sufficient conditions for these evaluations, we construct distance magic labelings using Kotzig arrays and lifted Kotzig arrays, and for the extended distance magic labeling, we introduce modified Kotzig arrays. To ensure that a single team does not play two matches at the same time, we must construct a valid match scheduling using 1-factorization. The thesis demonstrates that, based on the chosen generalization, extended distance magic labeling can be found for previously problematic graphs. In conclusion, we implement these findings and obtain a tool for generating graphs with extended distance magic labelings.