Odhad hodnoty Value at Risk lineárního portfolia aktiv pomocí kopula funkcí

Abstract

Práce je zaměřena na modelování výnosů portfolia finančních aktiv pomocí kopula funkcí. Cílem disertační práce je na reálných datech výnosů akciových indexů a měnových kurzů ověřit aplikovatelnost parametrických modelů na bázi kopula funkcí pro odhad hodnoty VaR lineárního portfolia finančních aktiv. Práce je rozdělena na dvě části, část teoreticko-metodologickou a aplikační. V teoretické části práce jsou nejprve popsány parametrické modely portfolia aktiv. Tyto modely se sestávají ze dvou složek: modelů marginálních rozdělení a kopula funkcí potřebných pro zohlednění závislostí jednotlivých marginálních rozdělení pravděpodobnosti. Následně je v práci objasněna metodologie Value at Risk. Nejprve je hodnota Value at Risk definována a následně jsou popsány metody odhadu této hodnoty. Zbytek teoretické části práce obsahuje přehled statistických testů pro zpětné testování odhadu hodnoty VaR. Nejprve je popsán samotný postup zpětného testování odhadu hodnoty VaR a následně jsou popsány statistické testy založené převážně na pracích Kupieca a Christoffersena. V aplikační části je ověřována vhodnost použití vybraných parametrických modelů. Nejprve jsou vymezena vstupní data, složení uvažovaných portfolií a použité modely pro modelování výnosů. V aplikační části je uvažováno s normálním rozdělením a normálním inverzním Gaussovým modelem, z kopula funkcí jsou použity Gaussova a Studentova kopula funkce. Tyto modely jsou použity k modelování výnosů portfolia a následnému určení hodnoty VaR pomocí metody simulace Monte Carlo. Porovnání jednotlivých modelů je provedeno jednak ex-post a rovněž pomocí zpětného testování popsaného v teoretické části práce. Výsledky zpětného testování jsou porovnávány jednak podle počtu výjimek (Kupiecův nepodmíněný test) a také je zkoumána nezávislost výjimek v čase (Christoffersenův test nezávislosti a test navržený Haasem). V závěru čtvrté kapitoly je následně provedeno shrnutí výsledků provedených analýz.

The thesis is focused on the portfolio returns modelling using copula functions. The goal of the thesis is to verify the applicability of parametric models based on the copula functions to estimate the VaR of linear portfolio of financial assets on real data of returns of stock indices and exchange rates. The thesis is divided into two parts, theoretical-methodological and application part. In the theoretical part of the thesis, parametric models of portfolio returns are described. These models consist of two components: marginal distribution models and copula functions. Copula functions are needed to capture the dependences among marginal probability distributions. Subsequently, the Value at Risk methodology is clarified. First the VaR is defined and then various methods of estimating this value are described. The rest of the theoretical part contains an overview of statistical tests for backtesting VaR estimates. First the procedure of VaR backtesting is explained and subsequently statistical tests based mainly on the works of Kupiec and Christoffersen are described. In the application part the suitability of selected parametric models is verified. First, there are defined input data, the composition of the portfolios under consideration and the models used for returns modelling. In the thesis we consider these marginal models: normal distribution and normal inverse Gaussian model, and following copula functions: Gaussian and Student's copula function. These models are used to model the portfolio returns using Monte Carlo simulation method and subsequently to determine the VaR. Comparison of different models is carried out both ex-post and also by backtesting as described in the theoretical part. Backtesting results are compared both in terms of the number of exceptions (Kupiec unconditional test) and the independence of exceptions over time (Christoffersen test and the test proposed by Haas). At the end of the fourth chapter the individual results are summarised.