Minimalizace odchozího stupně vrcholu v téměř pravidelném grafu

Abstract

Tato práce se zabývá minimalizací nejvyššího odchozího stupně vrcholu v téměř pravidelném grafu. Téměř pravidelný graf je graf, v němž se nejnižší a nejvyšší stupeň vrcholu liší maximálně o 2. Nejprve ukážeme, jak určit optimální hodnotu nejvyššího odchozího stupně v daném téměř pravidelném grafu, a pak i způsob, jak orientaci hran s minimálním nejvyšším odchozím stupněm nalézt. Součástí práce je i algoritmus napsaný v Matlabu, který pro zadaný téměř pravidelný graf určí optimální orientaci jeho hran. Práce by měla mít využití při paralelních numerických výpočtech, kde rozdělujeme zadaný objekt do několika podoblastí a na každém vlákně je zpracovávána jedna podoblast spolu s několika částmi své hranice. Orientace hran duálního grafu (každá podoblast je v duálním grafu reprezentována jedním vrcholem a hrana je mezi dvěma vrcholy, pokud dané podoblasti mají společnou hranici) určí, v rámci kterého vlákna se bude výpočet na hranici mezi dvěma oblastmi provádět tak, aby na žádném vlákně nebylo příliš mnoho výpočtů.

This thesis is focused on the minimization of the maximum outdegree of vertex in an almost regular graph. The almost regular graph is a graph in which the difference between maximum and minimum degree of vertex is at most two. First we will show how to determine the optimal value of maximum outdegree of given almost regular graph and then we will show the way, how we can find the orientation with minimized maximum outdegree. We also give Matlab algorithm which finds optimal edge orientation for given almost regular graph. Our results can be used in parallel numerical computing where given object is divided into subdomains and each thread is used for computing on one subdomain and on some parts of the boundary of this subdomain. The edge orientation of a dual graph (each subdomain is represented by one vertex and there is an edge between two vertices if the subdomains represented by these vertices are neighboring) determines which thread will be used for computing on the boundary between any two vertices as we want to minimize the largest number of tasks on a thread.