BEM for Helmholtz Equations

Abstract

In this work we study the application of the boundary element method for solving the Helmholtz equation in 3D. Contrary to the finite element method, one does not need to discretize the whole domain and thus the problem dimension is reduced. This advantage is most pronounced when solving an exterior problem, i.e., a problem on an unbounded domain. On the other hand, it should be mentioned that the boundary element discretization leads to dense matrices and is computationally demanding. In this thesis we concentrate on the Galerkin approach known, e.g., from the finite element method. In sections devoted to the discretization of boundary integral equations we describe the combination of analytic and numerical integration used for the computation of matrices generated by boundary integral operators. We also mention the collocation method, which gained its popularity among engineers due to its simplicity.

Tato práce se zabývá řešením Helmholtzovy rovnice ve 3D metodou hraničních prvků. Na rozdíl od metody konečných prvků tento přístup nevyžaduje diskretizaci celé oblasti a tím snižuje dimenzi problému. Tohoto faktu se dá s výhodou využít především při řešení vnějších úloh, tedy úloh na neomezených oblastech. Na druhou stranu je třeba podotknout, že při diskretizaci problémů pomocí metody hraničních prvků vznikají husté matice a jejich vyčíslení je výpočetně náročné. V dalším textu se zaměřujeme na Galerkinovu diskretizaci, která je známá například z metody konečných prvků. V části věnované diskretizaci hraničních integrálních rovnic popíšeme kombinaci analytické a numerické integrace pro sestavení matic generovaných jednotlivými hraničními integrálními operátory. Kromě Galerkinova přístupu zmíníme zároveň metodu kolokace, která se těší popularitě obzvlášť mezi inženýry, a to zejména pro svou jednoduchost.