Metody diskretizace stochastických modelů se spojitým časem

Abstract

Práce se zabývá diskretizací stochastických diferenciálních rovnic, které slouží k modelování dynamických systémů ovlivněných náhodnými vlivy. Zatímco model je formulován ve spojitém čase, praktické aplikace vyžadují jeho převod do diskrétní podoby. Cílem práce je představit základní teorii stochastických diferenciálních rovnic a analyzovat metody jejich diskretizace. Je popsán Wienerův proces, Itôův integrál a Itôova formule. Pro lineární systémy s konstantními koeficienty je představen exaktní diskrétní model. V nelineárním případě je diskutována Eulerova--Maruyamova metoda a její konvergence. Výsledky jsou ilustrovány na příkladu geometrického Brownova pohybu.

This thesis deals with the discretization of stochastic differential equations, which are used to model dynamical systems affected by random disturbances. While the model is formulated in continuous time, practical applications require its transformation into a discrete-time form. The aim of this thesis is to present the basic theory of stochastic differential equations and to analyze methods of their discretization. The Wiener process, the Itô integral, and Itô’s formula are introduced. For linear systems with constant coefficients, an exact discrete-time model is presented. In the nonlinear case, the Euler–Maruyama method and its convergence are discussed. The results are illustrated by the example of geometric Brownian motion.