Additive Schur Complement Approximation for Graphs

Abstract

This thesis deals with the approximation of the Schur complement on graphs represented by a graph Laplacian. The Schur complement of a graph eliminates selected vertices while preserving its properties. The approximation algorithm is based on splitting the graph into smaller parts (subgraphs) and computing the Schur complement on them, the resulting approximation is then constructed as the sum of the Schur complements of the individual subgraphs. This algorithm is also implemented in the Python programming language and is available at https://github.com/jn-flk/asca. Different methods and parameters can be used for graph splitting and selecting the eliminated vertices, their influence on the accuracy of the approximation is tested on selected graphs using the implementation. These tests showed that the approximation is effective.

Tato práce se zabývá aproximací Schurova doplňku na grafech reprezentovaných grafovým Laplaciánem. Schurův doplněk grafu eliminuje vybrané vrcholy, přičemž zachovává jeho vlastnosti. Samotný algoritmus aproximace spočívá v rozdělení grafu na menší části (subgrafy) a výpočtu Schurova doplňku na nich, výsledná aproximace je sestavena jako součet Schurových doplňků jednotlivých subgrafů. Tento algoritmus je také implementován v jazyce Python a dostupný na https://github.com/jn-flk/asca. Pro rozdělení grafu i volbu eliminovaných vrcholů lze použít různé metody a parametry, jejich vliv na přesnost aproximace je pomocí implementace testován na vybraných grafech. Tyto testy ukázaly, že aproximace je efektivní.