Kompaktnost v metrických prostorech a její aplikace

Abstract

Tato diplomová práce se zabývá pojmem kompaktnosti v metrických prostorech. V úvodní části jsou představeny nezbytné základní pojmy a různé ekvivalentní charakterizace kompaktnosti, zejména definice pomocí otevřených pokrytí a pomocí vybraných posloupností. Další část práce je věnována důsledkům kompaktnosti, mezi které patří například Weierstrassova věta o existenci extrémů spojité funkce nebo Heine-Cantorova věta o stejnoměrné spojitosti. Dále jsou v práci uvedena kritéria kompaktnosti v konkrétních metrických prostorech, jako jsou prostory spojitých funkcí či prostory posloupností. Závěrečná část práce se zaměřuje na vybrané aplikace kompaktnosti, například v teorii diferenciálních rovnic nebo v souvislosti s kompaktními operátory. Cílem práce je poskytnout ucelený přehled o pojmu kompaktnosti, jeho různých charakterizacích a významu v různých oborech matematické analýzy.

This thesis deals with the concept of compactness in metric spaces. In the introductory part, the necessary basic notions and various equivalent characterizations of compactness are presented, in particular the definition via open covers and via subsequences. The next part of the thesis is devoted to the consequences of compactness, including, for example, the Weierstrass theorem on the existence of extrema of continuous functions and the Heine–Cantor theorem on uniform continuity. Furthermore, criteria for compactness in specific metric spaces, such as spaces of continuous functions and sequence spaces, are introduced and discussed. The final part of the thesis focuses on selected applications of compactness, for example in the theory of differential equations or in connection with compact operators. The aim of the thesis is to provide a comprehensive overview of the concept of compactness, its various characterizations, and its importance in different areas of mathematical analysis.