3D Nonlinear Simulation of Laundry Machine Auto-Balancing Mechanism: Dynamic Analysis of Imbalance Settlement

Abstract

This thesis presents a 3D mathematical model of an auto-balancing mechanism of a laundry unit. The auto-balancing mechanism consists of balancing balls freely moving in two guiding tracks, which compensate for the centrifugal forces produced by unbalanced laundry in a rotating drum. The main objective is to derive the 3D system, incorporating spatial degrees of freedom and its effects, and to compare its performance with a simplified 2D system, which has constrained these spatial degrees of freedom. The behaviour of the laundry unit is simulated utilising implicit and explicit methods, specifically the Newmark Newton-Raphson method (NNR) and the central difference method (CDM). Furthermore, the efficiency of obtaining tangential matrices is evaluated by comparing automatic differentiation (AD) with analytical differentiation. A parametric study reveals that while both 2D and 3D systems yield identical results for a centred unbalanced mass, the 3D system uniquely captures a critical state involving an axially offset unbalanced mass. Due to additional nonlinearities, the 3D system is computationally demanding. The comparison demonstrates that the CDM provides better time efficiency than the NNR without compromising the accuracy of displacement amplitudes. However, the Newmark method with a modified Newton-Raphson variant is more efficient when the critical time step in the CDM is evaluated at every step. Additionally, utilising analytical differentiation results in shorter execution times compared to AD. Finally, to eliminate physically impossible states and validate the proposed mathematical model, future research should include interactions between balls and experimental measurements on a physical prototype.

Tato diplomová práce představuje 3D matematický model samovyvažovacího mechanismu pračky. Samovyvažovací mechanismus se skládá z vyvažovacích kuliček, které se volně pohybují ve dvou vodicích drážkách a kompenzují odstředivé síly vyvolané nevyváženým prádlem v rotujícím bubnu. Hlavním cílem je odvodit 3D systém zahrnující prostorové stupně volnosti a jejich účinky a porovnat ho se zjednodušeným 2D systémem, u něhož jsou tyto prostorové stupně volnosti zavazbeny. Chování pračky je simulováno pomocí implicitní a explicitní metody, konkrétně Newmarkovy metody s Newton-Raphsonovou metodou (NNR) a metody centrálních diferencí (CDM). Dále je vyhodnocena časová náročnost výpočtu získávání tečných matic porovnáním automatické derivace s analytickou derivací. Parametrická studie ukazuje, že zatímco 2D i 3D systémy poskytují identické výsledky pro vycentrovanou nevyváženou hmotu, 3D systém je schopen zachytit nový kritický stav zahrnující axiálně posunutou nevyváženou hmotu. Vzhledem k přidaným nelinearitám je 3D systém výpočetně náročný. Ze srovnání vyplývá, že CDM je časově méně náročná pro výpočet než NNR a to se zachovanou přesností amplitud posunutí. Newmarkova metoda s modifikovanou variantou Newton-Raphsonovy metody je však časově méně náročná pro výpočet, pokud je kritický časový krok v CDM vyhodnocován v každém kroku. Navíc použití analytické derivace vede ke zkrácení doby výpočtu. Aby bylo možné vyloučit fyzikálně nemožné stavy a ověřit matematický model, budoucí výzkum by měl zahrnovat interakce mezi kuličkami a experimentální měření na fyzickém prototypu.